Могут.

Если это ваше единственное жилье, никто ничего не заберёт, если не единственное, то нужно смотреть на стоимость доли и соразмерность, а вот наложить запрет на регистрационные действия могут (т.е до снятия запрета не продать не подарить не получится)

Добрый день, Екатерина!

Согласно действующему законодательству взыскание не может быть обращено на единственное жилье. Если указанная квартира является для Вас единственным пригодным для проживания помещением, то никто у Вас ее не заберет. С полным списком имущества, на которое не может быть обращено взыскание, Вы можете ознакомиться в ст. 446 ГПК РФ.

С наилучшими пожеланиями!