Как оформить временную прописку для лежачей мамы в неприватизированной квартире без доверенности?

Оформите опекунство над бабушкой и действуйте без доверенности от ее имени

А по доверенности вам всё равно регистрацию не оформят.

Опеку оформлять на бабушку и решать уже вопросы.

В местное подразделение миграции полиции сходите и переговорите с руководством, возможно сотрудник выйдет на дом для получение подписи в заявлении.