Нужна ли утверждать рапорт на увольнение по выслуге лет у директора?

Рапорт на увольнение подается работодателю. Если директор в учреждении где Вы работаете учредительными документами определен как работодатель и локальными документами не предусмотрен иной порядок подачи таких документов, то да.