Кому нужно обратиться для этого, чтобы менять цель визита.

Нужно выехать и вновь въехать в РФ.

Однако, безвизовые иностранцы, которые приехали в РФ с целью въезда не «Работа», могут изменить цель без выезда из России.

Если безвизовый иностранец указал в миграционной карте цель въезда «Частная», а затем решил остаться в РФ и работать, он может изменить цель въезда на «Работу» прямо в России.

Процедура смены цели въезда в России не урегулирована и очевидно Вам потребуется юридическая помощь.