Можно как-то повлиять на скорость выплаты СК дилерскому центру, который ремонтирует машину?

Банку сообщать не нужно, если произошла не полная утрата имущества (автомобиля), в договоре КАСКО У Вас должны быть прописаны сроки выплаты или ремонта. Исходите из условий договора и обратитесь письменно.