Смотря в каком статусе он хочет признать его членом семьи.
Если в графе отец стоит прочерк, то вы с супругом смело можете сходиьь в ЗАГС и установить отцовство (фамилия и отчество будут вашего супруга). Процедура стандартная для детей рожденных у родителей не состоящих в браке. Вы говорите, что ваш супруг это биологический отец ребенка, он это подтверждает и дело сделано. На руки вам дадут свидетельство об установлении отцовства. В этом случае по закону ваш супруг будет являться биологическим отцом ребенка, со всеми вытекающими из этого обстоятельствами (наследство, алименты, обязанность воспитывать и прочее). Это самый быстрый и простой способ.
Если же нужно, чтобы ребенок был в состве семьи супруга, но не имел прав кровного ребенка (фамилия и отчество не изменятся), то вашему супругу нужно обратиться в суд с заявлением о признании членом семьи ребенка. Нюансом является тот момент, что если вы работаете и ваша зарплата позволяет тратить на себя и на ребенка прожиточный минимум, то в суде будут трудности, потому что ключевым моментом в признании членом семьи являтся должно именно то, что ваш супруг финансово содержит вашего ребенка, потому что ваша зарплата этого не позволяет сделать вам самой как матери.
В ЗАГС обратитесь с заявлением на установление отцовства.