Кто должен ремонтировать деревянную обшивку потолка под штукатуркой в приватизированной квартире УК или собственник?

Собственник несёт бремя содержания и ремонта своего имущества.

А ваш вопрос является не полным, чтобы не давать бесполезные ответы! Конкретизируйте! Либо внимательно читайте ответ на ваш вопрос.

УК, потому что вся конструкция потолка (межэтажного перекрытия) - ограждающая конструкция - общее имущество.