Как можно узнать кому досталась квартира? И было ли составлено завещание?

Никак не узнаете, это закрытая информация.

Можете получить выписку из ЕГРН в МФЦ о правообладателе квартиры. Если вы не наследник и наследодатель жив, то вы не можете получить информацию о завещании. Если вы наследник и наследодатель умер, то обратитесь к нотариусу.

На сайте Федеральной нотариальной палаты вы найдете информацию об открытии наследственного дела. Для проверки необходимо ввести ФИО, дату рождения и смерти наследодателя. Ответ будет содержать номер дела и данные нотариуса, который его ведёт. После этого вы обращаетесь за информацией к нотариусу, ведущему наследственное дело.