Если я снимаю квартиру без договора, могу ли я пожаловаться на шум от соседей в полицию и не будет ли у меня проблем?

Пожаловаться можете, однако проблемы могут возникнуть у хозяина квартиры так как выяснится факт получения дохода, который он не показывает. Полиция в любом случае спросит у вас на каком основании вы проживаете в этой квартире.