Можно ли самим составить договор безвозмездного пользования, а у нотариуса его нотариально заверить?

Вы правы, как правило, нотариусы работают только со своими договорами, НО, большое но - нотариусы удостоверяют подпись на договоре, а не его содержание. ТАк что можно подписать договор в присутствии 2-х свидетелей с фиксацией их паспортных данных и подписей.