Имеет ли какие-нибудь права на собственность муж.

Если вы живете в незарегистрированном браке, то режим совместной общей собственности на вас и вашего мужчину не распространяется. Таким образом, собственность купленная на ваши средства и зарегистрированная в установленном законом порядке на вас - это ваша личная собственность.

Нет, в таком случае имущество будет принадлежать тому, на кого оформлено. институ сожительства в нашем законодательстве не закреплен

Нет,при сожительстве совместное имушество не делится,она остается за тем на кого зарегестрировано.