Лежал с ребенком в больнице во время отпуска, можно ли продлить отпуск?

Можно, на время больничного.

Здравствуйте, да если период нахождения в больнице подтвержден листом нетрудоспособности.

В случае, если во время ежегодного оплачиваемого отпуска работника наступил случай временной нетрудоспособности по уходу за больным ребенком, ежегодный оплачиваемый отпуск продлению не подлежит, а листок нетрудоспособности выдается и оплачивается со дня, когда работник, осуществляющий уход за ребенком, должен приступить к работе (письмо Минтруда России от 26 октября 2018 г. № 14-2/ООГ-8536)