Я безработная, сломала ногу, могу ли я встать на учёт по безработице на бирже труда? Не скажут ли мне, что это незаконно?

Конечно, можете. Они обязаны поставить Вас на учет. Вопрос в другом. Как Вы со сломанной ногой будете ходить (ездить) по работодателям, которых Вам нужно будет посетить?