Может ли бабушка прописать внука в частный дом, когда у неё 1/9 доли владения и не выделены доли для остальных наследников?

Да, в том случае, если в доме зарегистрирован кто-либо из родителей несовершеннолетнего. По закону место жительства несовершеннолетнего определяется местом жительства одного из родителей.

Здравствуйте, Александр! Однозначно нет. В соответствии с п.1 ст.246 ГК РФ, распоряжение имуществом, находящемся в общей долевой собственности, осуществляется по взаимному согласию всех сособственников. А прописать кого-либо в жилом помещении (т.е. предоставить право пользоваться этим жилым помещением) - это именно распоряжение жильем. И поскольку внук совершеннолетний (я правильно прочитал Ваш вопрос?), постольку никаких исключений, связанных с проживанием в этом доме его родителей, в данной ситуации быть не может.

С уважением,