Если есть договор с ООО подписанный, сейчас они переименовались. Нужно ли вносить изменения в договор в связи с этим?

Переименование организации не является основанием для изменения договора.

Нужно. Поменялась преамбула и заключительная часть.

Не надо ни в первом, ни во втором случае.

Не нужно... если реорганизовалась, тоже не нужно.

А если реорганизовалась организация?