Если я не ошибаюсь, можно просто оформить изменение к трудовому договору путем составления соглашения, без увольнения.

Анна, никаких негативных последствий у Вас не будет от такой записи, тем более Вас принимают в ту же организацию. Для любого кадровика на будущем месте работы очевидно, что бессрочный тр. договор лучше срочного и мотив увольнения очевиден. Если боитесь что Вас не примут, на другое место, подписывайте заявление на увольнение в обмен на подписание с их стороны трудового договора на новое место.

Возможен просто перевод, иногда называемый "внутренним"- в одной организации на другую должность, или "внешний"- в другую организацию, с Вашего письменного согласия и при согласовании соответственно- одним или обоими работодателями. Простой приказ о переводе и соглашение к ТД (или новый договор, без разницы) об изменении трудовой функции и срока работы.