Может ли работодатель требовать доступ к моим данным на сайте госуслуги и мос.ру и нарушает ли это закон?

Не имеет право требовать доступа - только вы можете заходить на данные сайты, т. к. там вы можете совершать определенные юридически значимые действия...

Это неправомерно, потому что информация, которая хранится на вашей странице на сайте госуслуг, является личной и под понятие персональных данных, которые может запрашивать работодатель, не подпадает. Смотрите статьи 86-90 Трудового кодекса РФ.