Здравствуйте. А другой начальник имеет полномочия на подписание такого рода заявлений? Если нет, то согласование с ним вашего отпуска является бессмысленным и даже незаконным. Однако, возможно ваш отпуск на это время был указал в графике отпусков? Если да, то график отпусков обязателен как для работника, так и для работодателя (ст. 123 ТК РФ). В этом случае, вам обязаны предоставить отпуск в то время, которое указано в графике отпусков, тем более, если вы на этом настаиваете. Если нет (и никаких льгот вы не имеете), то предоставление отпуска в другое время производится только с согласования с работодателем. Что касается увольнения, то без отработки можно уволиться только в крайних случаях (болезнь, уход на пенсию, переезд в др. город и т.п.), подтвержденных документально или по соглашению сторон. Удачи.