Перевод на бюджет - возможно ли и законен ли этот процесс для студентов на внебюджетной основе?

Закон такой перевод не запрещает. Но нужно ознакомиться с правилами перевода в учебном заведении, в которое сын хочет перевестись и оформить согласие этого вуза на перевод.

Возможен, при наличии бюджетных мест и соблюдении ряда условий, предусмотренных Порядком перевода обучающихся в другую организацию, осуществляющую образовательную деятельность по образовательным программам среднего профессионального и (или) высшего образования уставами вузов, утвержденного Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 10.02.2017 № 124 и уставами образовательных учреждений.

Студенты имеют право на перевод из образовательной организации, в которой они обучаются (исходного вуза), в другую образовательную организацию (принимающий вуз). При этом перевод может осуществляться в соответствии с общим порядком, а также с учетом особенностей, предусмотренных законом (п. 3 ч. 1 ст. 33, п. 15 ч. 1 ст. 34 Закона от 29.12.2012 N 273-ФЗ "Об образовании").