Должна ли я перезаключать страховку, если нужно изменить собственника?

Да. нужно будет это сделать.

Если наступит страховой случай, то денежные выплаты получит лицо, указанное в страховке.

Да так как в случае причинения ущерба вашему авто правообладателем получателем выплаты будет старый собственник, либо страховая вообще откажется выплачивать. Это также чревато отказом страховой в выплате по вашей вине. Что повлечет иск к вам как к ответчику.

Можно ли ездить если в страховке один собственник, а в стс другой?