Подано заявление на правонарушителя по факту хулиганства, содержащее клевету на мою семью - каков порядок доказывания факта психического здоровья?

Ничего доказывать вы не должны... этим должны заняться органы при проверке заявления..

Вряд ли Вы докажете в данном случае наличие клеветы, т. к. порочащие Вас сведения не были распространены публично. А заявление в полицию признаком публичности не обладает.

В соответствии со ст. 128.1 УК РФ клевета - это распространение заведомо ложных сведений, порочащих честь и достоинство другого лица или подрывающих его репутацию.

В соответствии с. ч. 2 ст. 6 Федерального закона от 02.05.2006 N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации" - не является разглашением сведений, содержащихся в обращении, направление письменного обращения в государственный орган, орган местного самоуправления или должностному лицу, в компетенцию которых входит решение поставленных в обращении вопросов.