Особенности оформления трудовых договоров в детском саду - можно ли требовать их подписания каждый год и как длительно действует один договор?

Можно признать трудовые отношения действующими по суду. Вопрос решится сам собой.

Из вопроса не понятно, что это за "два года подряд заставлять писать трудовой договор". Если речь о срочном ТД, то необходимо его смотреть. "И сколько по времени вообще можно писать трудовой договор" - тоже не понятно о чём речь.