Центр занятости делал мужу выплаты по безработице при временной регистрации, теперь на его подают в суд. Законно?

Да. выплаты, равно как и становиться на учет - можно только по месту жительства (постоянной регистрации).

Закон РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 31.07.2020) "О занятости населения в Российской Федерации"

Статья 3. Порядок и условия признания граждан безработными

2. Решение о признании гражданина, зарегистрированного в целях поиска подходящей работы, безработным принимается органами службы занятости по месту жительства гражданина не позднее 11 дней со дня предъявления органам службы занятости паспорта, трудовой книжки и (или) сведений о трудовой деятельности, оформленных в установленном законодательством порядке, либо документов, их заменяющих, документов, удостоверяющих его квалификацию, справки о среднем заработке за последние три месяца по последнему месту работы (службы), а для впервые ищущих работу (ранее не работавших), не имеющих квалификации - паспорта и документа об образовании и (или) о квалификации.

На Ваш вопрос сообщаем, что порядок регистрации безработных граждан, порядок регистрации граждан в целях поиска подходящей работы и требования к подбору подходящей работы установлены постановлением Правительства РФ от 07.09.2012 № 891.

В соответствии с правилами регистрации граждан в целях поиска подходящей работы (утв. постановлением Правительства РФ от 7 сентября 2012 г. № 891), при постановке на регистрационный учет граждане предъявляют следующие документы:

а) паспорт гражданина Российской Федерации;

б) трудовая книжка или документ, ее заменяющий;

в) документы, удостоверяющие профессиональную квалификацию, в том числе документы об ученых степенях и ученых званиях, документы, связанные с прохождением обучения, выдаваемые организациями, осуществляющими образовательную деятельность, и документы об образовании;

г) справка о среднем заработке за последние 3 месяца по последнему месту работы;

д) документы, подтверждающие прекращение гражданами трудовой или иной деятельности в установленном законодательством Российской Федерации порядке;

е) документы, подтверждающие отнесение граждан к категории испытывающих трудности в поиске подходящей работы, предусмотренной статьей 5 Закона Российской Федерации «О занятости населения в Российской Федерации».

Без предоставления полного пакета документов, Вы имеете право быть зарегистрированным в качестве ищущего работу, т.е. без выплаты пособия по безработице.

По временной прописке встать на регистрационный учет можно в любом центре занятости населения (т.е. без выплаты пособия по безработице).

За более подробной информацией Вам следует обратиться в центр занятости по месту жительства или фактического пребывания.