Не соответствуют место рождения в паспорте и свидетельстве - что делать?

Я бы всё таки отталкивался от рекомендаций работников миграционной службы и их разъяснений. Уточните лучше у них. По общему правилу да должно быть указано как в свидетельстве.

Нужно заменить паспорт и указать правильные данные, в соответствии с указанным местом рождения в свидетельстве о рождении.

Да, Вам необходимо обратиться с заявлением о замене паспорта в связи с допущенными неточностями (не соответствием) внесенных сведений о месте рождения, при этом указать в заявлении что несоответствие внесенных сведений осуществлено по вине работников миграционной службы.