Может ли классный руководитель школы прийти и проверить жилищные условия ученика.

Может, особенно, если у него имеется информацию о каких-либо проблемах ученика. Сейчас например много таких случаев, что дети живут с бабушками, а родители находятся неизвестно где, поэтому классный руководитель обязан эти вопросы выяснять.