Надо ли платить имущественный налог на квартиру?

Да нужно. Несмотря на то что квартира обременена ипотекой она все равно находится в вашей собственности, а не в собственности банка. Соответственно и обязанность платить налог возникает у вас как у хозяйки квартиры.