Дмитрий, здравствуйте!
Согласно ст. 67 Трудового кодекса РФ трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.
Несмотря на указанное рекомендуется осуществить подготовительный сбор доказательств..
Например, сохранить переписку, получить копии ведомостей, документы, подтверждающие, что выполняли трудовую функцию каждый рабочий день. Тут подойдут графики с подписью и печать.
Все зависит от вида работы.
Далее уже можно обращаться с жалобой в трудовую инспекцию, а потом в суд.
С уважением,
юрист Дмитрий Квон.