Добрый вечер, Василиса!
Это возможно сделать через орган опеки и попечительства, но опека обычно всех "отправляет" в суд устанавливать отцовство.
Истцом может быть отец ребенка.
Он может по почте направить доверенность. Представитель по доверенности может подписать иск и подать его в суд.