В течение какого времени должен продлить временную регистрацию гражданин РФ без штрафа.

То, что Вы называете "временной регистрацией по месту жительства", это, скорее всего, регистрация по месту пребывания на срок, установленный соглашением между Вами и лицом, предоставившим Вам жильё.

Порядок регистрации в этом случае регулируется ст. 5 N 5242-1 закона, согласно которой регистрация гражданина Российской Федерации по месту пребывания производится в срок, не превышающий 90 дней со дня прибытия гражданина в жилое помещение. Регистрация по месту пребывания производится без снятия гражданина с регистрационного учета по месту жительства.