Здравствуйте, да, вы можете работать по совместительству, если хотите сохранить основное место работы.
Не правильно сформировала я вопрос, возможно ли сохранить начисления по больничному, какой договор нужно заключить?
Больничный по основному месту работы вам выплатят в любом случае на основании вашего БЛ, который вы им предоставили, кроме того, на основании ч 2 ст 13 ФЗ 255:
2. В случае, если застрахованное лицо на момент наступления страхового случая занято у нескольких страхователей и в двух предшествующих календарных годах было занято у тех же страхователей, пособия по временной нетрудоспособности, по беременности и родам назначаются и выплачиваются ему страхователями по всем местам работы (службы, иной деятельности), а ежемесячное пособие по уходу за ребенком - страхователем по одному месту работы (службы, иной деятельности) по выбору застрахованного лица и исчисляются исходя из среднего заработка, определяемого в соответствии со статьей 14 настоящего Федерального закона, за время работы (службы, иной деятельности) у страхователя, назначающего и выплачивающего пособие.(часть 2 в ред. Федерального закона от 08.12.2010 N 343-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
2.1. Если застрахованное лицо на момент наступления страхового случая занято у нескольких страхователей, а в двух предшествующих календарных годах было занято у других страхователей (другого страхователя), пособия по временной нетрудоспособности, по беременности и родам, ежемесячное пособие по уходу за ребенком назначаются и выплачиваются ему страхователем по одному из последних мест работы (службы, иной деятельности) по выбору застрахованного лица.
(часть 2.1 введена Федеральным законом от 08.12.2010 N 343-ФЗ)
2.2. Если застрахованное лицо на момент наступления страхового случая занято у нескольких страхователей, а в двух предшествующих календарных годах было занято как у этих, так и у других страхователей (другого страхователя), пособия по временной нетрудоспособности, по беременности и родам назначаются и выплачиваются ему либо в соответствии с частью 2 настоящей статьи страхователями по всем местам работы (службы, иной деятельности) исходя из среднего заработка за время работы (службы, иной деятельности) у страхователя, назначающего и выплачивающего пособие, либо в соответствии с частью 2.1 настоящей статьи страхователем по одному из последних мест работы (службы, иной деятельности) по выбору застрахованного лица.
(часть 2.2 введена Федеральным законом от 08.12.2010 N 343-ФЗ)
По поводу договора - это обычный трудовой договор о работе по внешнему (в другой организации же собираетесь работать?) совместительству.