Нет. Вернее не совсем так.
Идете в ЗАГС по месту проживания, платите госпошлину и заполняете заявление на выдачу дубликата свидетельства о рождении ребенка.
И получаете также по месту проживания. Изготавливают дубликата ЗАГС который ранее выдал свидетельство о рождении.