Наталья, да - можно. Необходимо правильно оформить доказательную базу: распечатать и нотариально заверить переписку. Также потребуется экспертиза, подтверждающая соответствие и нетронутость записей (постов) сообщений - не было ли удалений и т.п.
На ряду с другими доказательствами если оно надлежащие закреплено (обеспечение доказательств) и не оспаривается стороной.
Если в данной ситуации возбужденно уголовное дело, то приносите следователю ноутбук на котором открываете переписку в соц сетях. Следователь привлекает любого специалиста с дипломом о техническом образовании и проводит осмотр вашей переписки в соц сетях с вашим участием. Сие мероприятие оформляется протоколом осмотра предметов (часть 1 статья 176 УПК РФ). Важные фрагменты переписки скринятся, копируются на CD-R диск, упаковываются, признаются вещественным доказательством и находятся в уголовном деле.
А если дело еще находится в оперативном отделе, и мою переписку вскрыли там без моего ведома, якобы по запросу в одноклассники, законно ли это, и имеют ли право эту переписку использовать в суде как доказательство против меня?
ИМеют право и входе ОРД так делать, для этого составят необходимые документы и получат разрешение суда.
Если по решению суда, то законно, если без решения суда, то незаконно и в данном случае вещественное доказательство ничтожно и не имеет юридической силы.