К сожалению, все НПА города Москвы "заточены" под москвичей, то есть лиц, имеющих постоянную регистрацию на территории города Москвы. Вам остаётся только судебный порядок. Прецедентов море. Необходимо сначала обратиться в орган, получить отказ (основание отказа - отсутствие штампа о прописке), обратиться в суд с исковым заявлением. В суде Вам необходимо доказать, что Вы проживаете в Москве и не имеете возможности встать на регистрационный учёт. Доказательства: место работы, договоры найма ЖП, прикрепление к поликлинике, посещение кружков/секций в городе, выписка из банковского счёта (напр. Ежедневно обедаете в столовой и платите банк. Картой), транспортные карты, показания свидетелей, иное. Суд установит Ваше место жительства, а ребёнок может проживать только вместе с одним из родителей.
Меры социальной поддержки серьёзные. Есть за что побороться.