Здравствуйте Кристина!
Вы немного не точно сформулировали вопрос, поскольку не понятно, о каких организациях идет речь, о государственных или иных.
Так в отношении государственных органов, органов местного самоуправления, государственных и муниципальных учреждений и иных организаций, на которые возложено осуществление публично значимых функций, и на должностных лиц этих органов, учреждений и организаций действует Федеральный закон от 02.06.2006 № 59-ФЗ «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации».
Согласно ч. 2 ст.8 указанного закона,
письменное обращение подлежит обязательной регистрации в течение трех дней с момента поступления в государственный орган, орган местного самоуправления или должностному лицу.
То есть, даже при обращении в государственные органы, Вам не обязаны предоставлять копию заявления. Максимум - поставить входящий штамп с числом и подписью, либо выдать талон о принятии обращения.
В отношении же не государственных учреждений ситуация еще сложнее и урегулирована исключительно правилами делопроизводства каждой организации. То есть, если во внутренних правилах организации, в которую Вы обратились предусмотрено выдавать копии обращений клиентам - копию Вам выдать должны.
Если в правилах это не предусмотрено - значит требовать копию обращения смысла нет.