Требование написать два заявления при переводе на новую должность - законно ли это и куда обратиться?

В обоих случаях нет. на принятие при переводе заявление не пишут, а оформляется приказом по доп соглашению, а на увольнение нет нельзя так, жаловаться можете куда хотите, но как потом работать с таким руководителем. Предлагаю, вам, такой вариант пусть за вас заявление подпишет любой другой работник или человек, потом скажите что вы его не писали.