Исправление ошибок и дополнение записей в трудовой книжке делается только через суд?

Работодатель может добровольно это сделать.

Корректное ведение и изменение записей в документах сотрудников — обязанность работодателя. Вносить информацию, исправлять ее, если были допущены ошибки или неточности, разрешено только уполномоченным работодателем лицам. Обычно это сотрудники отдела кадров или один кадровый специалист.