Кто должен оплатить сломанную дверь после эпизода издевательств над ребёнком?

Сколько лет ребенку? Если до 14 лет, то ничего Вы не должны платить. Не переживайте.

Надежда!

Ответственность за причиненный материальный вред - покупка новой двери или стоимость ремонта - возлагается на причинителя вреда (ст. 1064 ГК РФ), но в силу ст.ст. 26-28 ГК РФ возмещение вреда возлагается на родителей несовершеннолетнего или малолетнего. Стоимость (смету) подготовит собственник двери, очевидно школа.

Что касается ситуации. Полагаю, Вам следует воспользоваться правами, предоставленными Вам законом "Об образовании в Российской Федерации" от 29.12.2012 N 273-ФЗ, статьи 45 и 48. Не буду перегружать ответ цитатами, текст закона есть в открытом доступе в Интернете. В них речь идет об обязанностях педагогов и защите прав обучающихся.

Не обязательно требовать наказания кого-то, хотя и исключать наказание нельзя. Но это необходимо, чтобы впоследствии Ваш ребенок не отвечал за каждое разбитое стекло в школе, и, главное, не был объектом насмешек со стороны сверстников и, бывает, учителей.

Удачи!