Я работаю неофициально суши поваром. Имеет ли право начальник требовать с меня медкнижку?

Поскольку вы работаете неофициально, работодатель ничего не имеет права с вас требовать. Если вы работаете по гражданско-правовому договору, то имеет право требовать только то,что установлено в рамках договора.