Как получить выплату за отработанные дни, если я работала неофициально в учебном учреждении?

Сначала обратиться к работодателю с письменной претензией, в которой пояснить, что в случае не выполнения устных договорённостей по оплате труда, обратитесь в трудовую инспекцию, суд, и прокуратуру.

Если не подействует, собирайте любые доказательства, что вы там работали (свидетелей, переписку в мессенджерах, что угодно) и обращайтесь в выше названные инстанции, за достаточностью доказательств, оштрафуют точно.

Добрый вечер! Вы можете обратиться в суд с исковым заявлением об установлении факта трудовых отношений и взыскании зарплаты.

Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен (ст. 16 ТК РФ).