Возможно ли преподавание в начальной школе с дипломами СПО и высшего психолого-педагогического образования?

Конечно сможете. У Вас же имеется СПО по специальности "начальное образование". Теперь в анкетных данных учителя начальных классов Вы обязаны указывать, что у Вас высшее образование.