Может ли администрация города выписывать штраф за парковку на газоне.

Может, если адм. ответственность предусмотрена законом субъекта России.

Может. Для этого в муниципалитетах созданы Административные комиссии.

Только они уполномочены работать по частному сектору (свои дома - малоэтажная застройка).

Сходите в муниципалитет, попросите Положение об Административной комиссии, (может как-то иначе называться). Там все прописано - и порядок работы и полномочия.

Если что-то не так, Вы вправе обжаловать решение (если срок не пропущен).

Желаю успехов!