Нужна ли доверенность на ребенка при пересечении границы Казахстан на поезде?

В ответ на Ваш вопрос сообщаю, что доверенность не нужна.

Однако согласно статьи 20 Федерального закона от 15 августа 1996 г. N 114-ФЗ "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"

В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения родителей, усыновителей, опекунов или попечителей, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить.