Можно ли получить ЗАГС с кыргызстанским паспортом?

Можно. Вы можете зарегистрировать брак на территории России в Российском загсе имея при этом Киргизский паспорт. Просто в свидетельстве о регистрации брака будет написано, что вы гражданин Кыргизстана.