Может ли управляющая компания подать суд на пеню, скопившуюся за годы, пока не платил за квартиру. Основной долг погашен.

Да, может подать... нужно проверить правильность начисления пени...

Да может, Вы свою очередь можете заявить в суде ходатайство о пропуске компанией срока исковой давности, если они буду просить пени свыше трех лет перед обращением в суд.

Да, может подать в суд, если на Вас подали необходимо подавать отзыв на иск.