Обязан ли сотрудник по временному трудовому договору писать заявление о расторжении?

Нет не нужно, поскольку окончанием действия договора является выполнение конкретного задания (работы)

Здравствуйте! При заключении трудового договора на время выполнения определенной работы необходимо указывать либо конкретный срок окончания работ либо событие, которое служит его окончанием и указывать о каких конкретно работах идет речь.