Я хочу заплатить моральный ущерб потерпевшей стороне. Надо ли брать с них расписку?

Обязательно, что претензий не имеют.

Здравствуйте! Обязательно возьмите, иначе как потом будете доказывать о выплате ущерба (при необходимости).