Я работал официально по трудовой, потом работал не официально без трудовой, а теперь хочу устроиться по трудовой

Можно и можно в нее внести данные о подтвержденном стаже.

заводите, только для пенсии будуте бегать, но и это не особо беда, для этого есть Архив.