Моя трудовая книжка осталось последнем рабочем месте. Могу я ли новую начать? И не написать запись в той работы.

Да, можете, трудовая книжка нужна для подтверждения трудового стажа, но она не является единственным документом в данном роде. Трудовой стаж также подтверждается трудовым договором, выписками и ЕНПФ и другими документами в соответствии со ст. 35 трудового кодекса РК.