Расписаться в журнале безопасности после неофициальной работы с потерей пальцев - стоит ли соглашаться и как поступить с предложением о срочном трудовом договоре?

Производственную травму вы врядли докажете, т.к. работали неофициально. Но расписываться в журнале задним числом не нужно. Стоит предложить ему возместить вам ущерб и заключить бессрочный трудовой договор. Если вы в состоянии работать. Если не захочет, его можно привлечь к уголовной ответственности.

Если Вы работали неофициально, но при этом имеете возможность доказать, что фактически получали заработную плату, и выполняли трудовой распорядок дня, то для суда этого будет достаточно, чтобы признать Вас работнником организации. Если Вы собираетесь взыскать с работодателя материальный и моральный ущерб, причиненный Вам ампутацией пальцев, то расписываться в журнале по технике безопасности не стоит.