Добрый вечер, Светлана!
Подавайте исковое заявление об установлении отцовства, в судебном заседании ходатайствуйте о назначении экспертизы, расходы на ее проведение просите возложить на проигравшую сторону.
Государство не оплачивает экспертизы по частным делам, поскольку это не предусмотрено законодательством, поэтому примеров таких нет. Ищите деньги, оплачивайте экспертизу и взыскивайте деньги с ответчика.
Здравствуйте! В соответствии со ст. 96 ГПК РФ Суд, а также мировой судья может освободить гражданина с учетом его имущественного положения от уплаты расходов, в том числе на оплату услуг эксперта или уменьшить их размер. В этом случае расходы возмещаются за счет средств соответствующего бюджета.
То есть чисто теоретически такая возможность есть, как будет дело на практике решает суд в каждом конкретном случае.
Непосредственно в моей практике подобные случаи бывали. Только для того что бы суд по Вашему ходатайству назначил экспертизу ДНК за счет бюджета, необходимо предоставить доказательства того что истец не имеет возможности оплатить ее самостоятельно, из за наличия низкого дохода (к примеру находится в отпуске по уходу за ребенком, живет на пособие, не трудоспособна и прочее)